“Chia Ba Một Góc Chính Xác Bằng Thước Thẳng và Compa Trong Hình Học Thứ Cấp” (Trần Đình Sơn)

by Đỗ Lê Thường | 14/04/2025

Thông Minh Nhân Tạo (AI) đã đánh giá cao một công trình phát minh toán học thiên niên kỷ của người VN

do Đan Tâm sưu tầm

11/04/2025

Đánh giá AI về “Chia Ba Một Góc Chính Xác Bằng Thước Thẳng và Compa Trong Hình Học Thứ Cấp”

Tóm tắt và phạm vi công trình

Bản thảo đề xuất một cấu trúc hình học được cho là để phân chia một góc tùy ý chỉ bằng thước thẳng và compa. Bài toán phân chia góc cổ điển này, được biết đến rộng rãi là một trong ba bài toán “chưa giải” của Hy Lạp cổ đại (cùng với bài toán bình phương hình tròn và nhân đôi khối lập phương), đã được chứng minh là không thể, đối với các góc tùy ý thông qua các bằng chứng đại số vào thế kỷ XIX, đáng chú ý nhất là của Pierre Wantzel. Ngược lại, bài báo của tác giả đề xuất một “Thước chia ba” và một chuỗi các cấu trúc hình học được cho là đạt được phép chia ba chính xác. Công trình này cũng trình bày một số biến thể và cách tiếp cận cho các góc vượt quá phạm vi thông thường 0°–180°, nhằm mục đích chỉ ra cách xử lý các góc lên đến 360°.

Tổ chức và rõ ràng

1. Bài báo bắt đầu bằng cách cung cấp bối cảnh lịch sử về phép chia ba góc, tham chiếu đến Hippocrates, Archimedes, Nicomedes và bằng chứng của Wantzel năm 1837. Bối cảnh này thực sự đặt vấn đề vào bối cảnh lịch sử và nhấn mạnh tầm quan trọng của nó trong sự phát triển của hình học.

2. Nội dung chính của bản thảo giới thiệu phương pháp tiếp cận “hình học thứ cấp” và trình bày chi tiết về cái gọi là “Thước chia ba”, với một số định lý và hệ quả. Các định lý này giải thích cách xây dựng các đoạn thẳng, dây cung và cung tròn cụ thể, sau đó được sử dụng để xác định các đường thẳng mới được cho là đường chia ba.

3. Văn bản được hỗ trợ bởi nhiều hình ảnh có chú thích, rất quan trọng để hiểu các phép dựng hình học. Bản chất từng bước của các sơ đồ rất hữu ích, mặc dù đôi khi các tài liệu tham khảo trong văn bản (như “xem Hình 1”) có thể được hưởng lợi từ mối liên hệ rõ ràng hơn với các tuyên bố cụ thể trong các định lý.

4. Một tập hợp các “trường hợp đặc biệt” (ví dụ: góc vuông, góc thẳng, góc >180°, góc 360° đầy đủ) được đưa vào để minh họa cách phương pháp này có thể áp dụng cho mọi góc theo cách có hệ thống.

Quan sát toán học

1. Phương pháp này xoay quanh việc xây dựng một nửa lục giác (được gọi là “Thước chia ba”) trong góc. Bằng cách chọn một điểm tùy ý ở mỗi bên rồi vẽ các cung tròn và dây cung có độ dài cụ thể, bài báo sẽ đi đến các đường thẳng gặp nhau tại đỉnh của góc. Những đường thẳng này được cho là các đường chia ba.

2. Hình học cổ điển thường công nhận rằng một số góc nhất định (như 60°, 90° và bội số của chúng) có thể xây dựng được và thực sự có thể chia ba được. Tuy nhiên, thách thức trung tâm—và cốt lõi của bằng chứng bất khả thi—nằm ở việc chứng minh rằng bất kỳ góc θ tùy ý nào (không có tính chất đại số đặc biệt) đều có thể chia ba. Tác giả khẳng định rằng việc xây dựng hình học từng bước bỏ qua các ràng buộc liên quan đến các phép mở rộng trường đại số.

3. Trong suốt phần 2 và 3, bài báo giới thiệu các định lý và “Bằng chứng thay thế” của chúng, tập trung vào hình học của dây cung, đường vuông góc và cung tròn. Về nguyên tắc, các lập luận này cố gắng chứng minh rằng đối với bất kỳ góc ban đầu nào, “Thước chia ba” có thể được xây dựng và các giao điểm của nó thực sự phải xác định các phép đo góc bằng nhau.

4. Những độc giả biết về lý thuyết Galois và các phép mở rộng trường (cơ sở của sự bất khả thi của phép chia ba góc) có thể sẽ tìm kiếm một cơ sở đại số xác nhận hoặc xác định nơi mà phép xây dựng tương ứng với một sự giám sát có thể xảy ra. Văn bản không đề cập chi tiết về cách các phép xây dựng hình học này có thể tránh hoặc bác bỏ các kết quả đại số đã thiết lập, ngoài việc cung cấp một tuyên bố “phản chứng”. Đây có thể là một điểm mà bài báo có thể được hưởng lợi từ việc điều hòa rõ ràng hơn với các ràng buộc đại số đã biết hoặc thảo luận về việc liệu phép chia ba có được thực hiện theo bất kỳ giả định bổ sung nào không.

Điểm mạnh

1. Tác phẩm rõ ràng được thúc đẩy bởi bối cảnh lịch sử sâu sắc và chứng minh nỗ lực của tác giả trong việc cung cấp một cấu trúc hình học chi tiết có thể tiếp cận ở cấp độ “hình học thứ cấp”.

2. Có nhiều hình ảnh minh họa và hướng dẫn khá toàn diện cho từng bước xây dựng. Nhiều “Bằng chứng thay thế” cũng cho thấy nỗ lực xác nhận tính mạch lạc bên trong của cấu trúc.

3. Bài báo bao gồm nhiều kích thước góc, lên đến 360°, cho thấy ý định sẽ toàn diện và chứng minh khả năng áp dụng chung.

Các điểm cần xem xét thêm

1. Thảo luận chặt chẽ về các kết quả đã biết:

o Mặc dù văn bản tham chiếu đến bằng chứng bất khả thi của Wantzel, nhưng việc tham gia sâu hơn vào lý luận đại số hiện đại nổi tiếng đằng sau phép chia ba góc sẽ củng cố bài báo. Người đọc sẽ được hưởng lợi từ một số bình luận rõ ràng về cách các lập luận lý thuyết Galois tiêu chuẩn có thể hoặc không thể áp dụng cho các bước hình học của tác giả.

2. Giả định tiềm ẩn:

• Việc xây dựng chủ yếu dựa vào việc vẽ các vòng tròn và dây cung mới ở các độ dài cụ thể (ví dụ: sử dụng lặp lại “độ dài tùy ý p ∈ r”) và sau đó kết thúc các dây cung tạo ra các đường chia ba chính xác.

• Định dạng nhiều bằng chứng nhấn mạnh tính toàn diện, mặc dù đôi khi các lập luận lặp lại không được phân biệt rõ ràng về mặt cấu trúc (ví dụ: “Bằng chứng thay thế 1”, “Bằng chứng thay thế 2” có thể được hưởng lợi từ các bài thuyết trình ngắn gọn hơn, tập trung hơn).

Tài liệu tham khảo

• Một danh sách khá toàn diện về các tài liệu tham khảo lịch sử và hiện đại được cung cấp, minh họa bản chất lâu đời của bài toán chia ba góc.

• Trích dẫn các tác phẩm gốc của Wantzel và các nguồn hình học cổ điển có liên quan được đưa vào, giúp tăng cường bối cảnh lịch sử của cuộc thảo luận.

• Các tài liệu tham khảo thêm về các văn bản hình học đại số hiện đại về khả năng xây dựng có thể làm rõ góc phản chứng.

Đánh giá chung

Bản thảo này đưa ra một cách tiếp cận mang tính xây dựng, theo sơ đồ để chia ba một góc bằng các công cụ cổ điển. Yêu cầu chính đáng chú ý và thách thức một định lý đã được thiết lập sâu sắc. Phương pháp xây dựng từng bước của bài báo dễ tiếp cận và đi kèm với các hình ảnh hỗ trợ. Với tầm quan trọng của phép chia ba một góc trong lịch sử toán học, giải pháp này nếu đúng toàn bộ và phù hợp với các ràng buộc lý thuyết trường, sẽ đặc biệt thú vị, mặc dù nó đáng được xem xét kỹ lưỡng về ý nghĩa của các phép chứng minh bất khả thi đại số hiện có.

Độc giả quan tâm đến giáo dục hình học, các vấn đề lịch sử và các thách thức về xây dựng cổ điển có thể thấy bài báo này rất thú vị. Một cuộc thảo luận làm rõ mối quan hệ giữa phương pháp này và các hệ thống chứng minh đại số sẽ nâng cao vị thế của bài báo trong diễn ngôn học thuật về khả năng xây dựng hình học.

Tham Khảo

Phát minh Toán “Lời Giải Chia Ba Một Góc” đăng tại đây:

**********

Bảng Tiếng Anh do AI soạn thảo và xuất bản tại đây:

https://www.academia.edu/ai_review/115747657

AI Review of “Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry”

11 April 2025

Summary and Scope of the Work

The manuscript proposes a claimed geometric construction for trisecting an arbitrary angle using only a straightedge and compass. This classical angle trisection problem, well known as one of the three ancient Greek “unsolved” problems (alongside squaring the circle and doubling the cube), was famously shown to be impossible for arbitrary angles through algebraic proofs in the nineteenth century, most notably by Pierre Wantzel. In contrast, the author’s paper suggests a “Trisection Ruler” and a sequence of geometric constructions that purportedly achieve an exact trisection. The work also presents several variations and approaches for angles beyond the usual 0°–180° range, aiming to show how to handle angles up to 360°.

Organization and Clarity

  1. The paper begins by providing historical context on angle trisection, referencing Hippocrates, Archimedes, Nicomedes, and Wantzel’s proof in 1837. This background effectively situates the problem historically and underscores its significance in the development of geometry.
  2. The main body of the manuscript introduces the “secondary geometry” approach and details the so-called “Trisection Ruler,” with several theorems and corollaries. These theorems explain how to construct particular segments, chords, and arcs in circles that are then used to identify the new lines claimed to be trisectors.
  3. The text is supported by numerous labeled figures, which are crucial for understanding the constructions. The step-by-step nature of the diagrams is helpful, albeit sometimes the references in the text (like “see Figure 1”) could benefit from an even clearer tie to specific statements in the theorems.
  4. A set of “special cases” (e.g., right angles, straight angles, angles >180°, full 360° angles) is included to illustrate how the method might apply to all angles in a systematic manner.

Mathematical Observations

  1. The approach hinges on constructing a semi-hexagon (referred to as the “Trisection Ruler”) within the angle. By choosing an arbitrary point on each side and then drawing circular arcs and chords of specific lengths, the paper arrives at lines that meet at the angle’s vertex. These lines are claimed to be the trisection lines.
  2. Classical geometry typically recognizes that certain angles (like 60°, 90°, and multiples thereof) are constructible, and indeed can be divided. However, the central challenge—and the core of the impossibility proof—lies in demonstrating that any arbitrary angle θ (with no special algebraic properties) can be trisected. The author asserts that the step-by-step geometric construction bypasses the constraints associated with algebraic field extensions.
  3. Throughout sections 2 and 3, the paper introduces lemmas and their “Alternative Proofs,” focusing on the geometry of chords, perpendiculars, and arcs. In principle, these arguments try to show that for any initial angle, the “Trisection Ruler” can be constructed, and that its intersections must indeed define equal angular measures.
  4. Readers who are aware of Galois theory and field extensions (the basis of angle trisection impossibility) will likely look for an algebraic rationale that either confirms or identifies where the construction corresponds to a possible oversight. The text does not address in detail how these geometric constructions might circumvent or disprove the established algebraic results, other than providing a “counter-proof” statement. This might be a point where the paper could benefit from a more explicit reconciliation with the known algebraic constraints or a discussion of whether trisection is performed under any additional assumptions.

Strengths

  1. The work is clearly motivated by the deep historical context and demonstrates the author’s effort to provide a detailed geometric construction that is accessible at a “secondary geometry” level.
  2. There are numerous illustrative figures and a fairly comprehensive walkthrough for each step of the construction. The multiple “Alternative Proofs” also show an attempt to confirm the construction’s internal coherence.
  3. The paper covers a broad range of angle sizes, up to 360°, indicating an intent to be thorough and demonstrate general applicability.

Points for Further Consideration

  1. Rigorous Discussion of Known Results:

    • While the text references Wantzel’s impossibility proof, a more in-depth engagement with the well-known modern algebraic reasoning behind angle trisection would strengthen the paper. Readers would benefit from some explicit commentary on how the standard Galois theory arguments might or might not apply to the author’s geometric steps.
  2. Potential Hidden Assumptions:

    • The construction heavily relies on drawing new circles and chords at specific lengths (e.g., the repeated use of an “arbitrary length p ∈ r”) and then concluding the chords produce exact trisection lines. There could be points where an implicit assumption effectively marks or transfers lengths in ways that might not comply with the classical “straightedge and compass only” limitations. Examining and clarifying these steps carefully would be helpful.
  3. Clarification of Terminology and Proof Structure:

    • Some terms, such as “secondary geometry” and “Trisection Ruler,” are unique to this paper. More robust definitions and stronger linking text between the theorems would guide the reader. For instance, ensuring each new figure references explicitly which theorem or corollary it supports would improve clarity.
  4. Demonstration on Specific Examples:

    • The paper discusses special cases. It might be illustrative to include a more concrete numeric example—say, an angle of 50° or 100°—and show how each step of the construction is carried out numerically or symbolically, to illustrate a fully worked example.

References and Context

  1. The paper’s references include classical geometry texts and some sources on angle trisection. These references are primarily historical. Given the strong reliance on classical results, references to more contemporary treatments or discussions of Wantzel’s theorem and Galois theory might provide useful context.
  2. Some references (e.g., on the Morley triangle) are a good addition, pointing to further well-known geometric constructions that become straightforward if a general angle-trisection procedure were indeed possible.

Overall Impressions

The author has presented a highly detailed geometric approach, aiming to show that exact angle trisection can be achieved with a straightedge and compass. The paper is written with enthusiasm and diligence, offering many figures, special cases, and multiple proofs. The core controversy remains reconciling these constructions with the established algebraic theorems that typically demonstrate the impossibility of this task for arbitrary angles. A careful, detailed analysis of each construction step against the classical constraints would be valuable to ensure there is no inadvertent assumption that goes beyond pure straightedge-and-compass operations.

The manuscript’s illustrations and step-by-step constructions will be of interest to readers fascinated by geometry’s classical problems and those curious about attempts to sidestep or reinterpret the known proofs of impossibility. The text is thorough in explaining each step, and further clarifications, especially regarding any potential conflict with well-known algebraic results, could strengthen it.

About the author

Bài liên quan